数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6设Cn=log5，求证{Cn}是等比数列；求数列{an}的通项公式；（

题文

数列{a_n}满足a1=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^×）
（Ⅰ）设C_n=log₅（a_n+3），求证{C_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=1an-6-1a2n+6an，数列{b_n}的前n项的和为T_n，求证：-516≤Tn≤-14． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得a_n+1+3=（a_n+3）²，
∴log(an+1+3)5=2log(an+3)5，即c_n+1=2c_n
∴{c_n}是以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）又c₁=log₅5=1，
∴c_n=2^n-1，即log(an+3)5=2^n-1，
∴a_n+3=52n-1
故a_n=52n-1-3
（Ⅲ）∵b_n=1an-6-1an2+6an=1an-6-1an+1-6，∴T_n=1a1-6-1an+1-6=-14-152n-9．
又0＜152n-9≤152-9=116．
∴-516≤T_n＜-14

解析

log(an+1+3)5

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=2，an+1=an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。