等比数列{an}的首项a1=1536，公比q=-12，用πn表示它的前n项之积．则πn最大的是A．π9B．π11C．π12D．π13

题文

等比数列{a_n}的首项a₁=1536，公比q=-12，用π_n表示它的前n项之积．则π_n（n∈N^*）最大的是（ ）A．π₉B．π₁₁C．π₁₂D．π₁₃ 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵首项a₁=1536，公比q=-12，∴a_n=1536•(-12)n-1，故等比数列{a_n}的奇数项为正数，偶数项为负数．
令|a_n|=1536•(12)n-1≥1 可得 2^n-1≤1536，∴n≤11．
故前11项的绝对值都大于1，其中有6个奇数项是正数，5个偶数项是负数，再由第12项的绝对值小于1且为负数，可得π₉ 或 π₁₂ 最大．
由数列的前n项之积π_n =1536ⁿ•(-12)0+1+2+3+…+(n-1)=1536ⁿ•(-12)n(n-1)2，可得当n=12时，则π_n（n∈N^*）最大，
故选C．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}的首项a1=1536，公.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。