数列{an}中，a1=1，前n项的和是Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．求出a2，a3，a4；求数列{an}的通项公式；求证：SnSn

题文

数列{a_n}中，a₁=1，前n项的和是S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（I）求出 a₂，a₃，a₄；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求证：S_nS_n+2＜S2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a₁=1，S_n=2a_n-1，
∴当n=2时，a₁+a₂=2a₂-1，∴a₂=2
当n=3时，a₁+a₂+a₃=2a₃-1，∴a₃=4
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-1，∴a₄=8      …（3分）
（II）∵S_n=2a_n-1，n∈N^*．         （1）
∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*．    （2）
（1）-（2）得a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1…（8分）
（III）证明：∵S_n=2a_n-1=2ⁿ-1，
∴S_nS_n+2=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1，S2n+1=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1
∵2ⁿ＞0
∴S_nS_n+2＜S2n+1．…（13分）

解析

S2n+1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，前n项的和是S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。