已知椭圆x2a2+y2b2=1，过椭圆左顶点A的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，2OP，AR成等比数

题文

已知椭圆x2a2+y2b2=1，过椭圆左顶点A（-a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，2OP，AR成等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设过左顶点A的直线L解析式为：y-0=k（x+a）即y=kx+ka，与y轴交点R坐标为（0，ka）；
AR=(1+k2) a2；
联立y=kx+kax2a2+y2b2=1
得到AQ=2b2b2+a2k2 ；
则过原点的直线为y=kx，与椭圆的交点为P，
联立x2a2+y2b2=1 y=kx
得：x=±a2b2b2+a2k2y=±ka2b2b2+a2k2
所以P（a2b2b2+a2k2 ，ka2b2b2+a2k2），OP=(1+k2)a2b2b2+a2k2．
得：2OP²=AQ•AR
故AQ，2OP，AR成等比数列．

解析

(1+k2) a2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆x2a2+y2b2=1，过椭圆左.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。