已知函数f=x2+x及两个正整数数列{an}，{bn}若a1=3，an+1=f'对任意n∈N*恒成立，且b1=1，b2=λ，且当n≥2时，有b2n

题文

已知函数f（x）=x²+x及两个正整数数列{a_n}，{b_n}若a₁=3，a_n+1=f'（a_n）对任意n∈N^*恒成立，且b₁=1，b₂=λ，且当n≥2时，有b2n-1＜bn+1bn-1＜b2n+1；又数列{c_n}满足：2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1．
（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）证明存在k∈N^*，使得Cn+1cn≤Ck+1ck对任意n∈N^*均成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由b2n-1＜bn-1bn+1＜b2n+1．
因为{b_n}是正整数列，所以bn-1bn+1=b2n．
于是{b_n}是等比数列，
又b₁=1，b₂=λ，所以bn=λn-1（2分）
因为f（x）=x²+x，所以f'（x）=2x+1，
∵a_n+1=f'（a_n）
∴a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=3，
∴数列{a_n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹
∴an=2n+1-1（5分）
（2）由2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1得：cn=λ(n-1)bn+12(an+1)．
由bn=λn-1及an=2n+1-1得：cn=(n-1)λn+2n（6分）
设Tn=λ2+2λ2+3λ4+…+(n-2)λn-1+(n-1)λn①
λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1②
当λ≠1时，①式减去②式，得(1-λ)Tn=λ2+λ3+…+λn-(n-1)λn+1=λ2-λn+11-λ-(n-1)λn+1
于是，Tn=λ2-λn+1(1-λ)2-(n-1)λn+1(1-λ)=(n-1)λn+2-nλn+1+λ2(1-λ)2（8分）
这时数列{a_n}的前n项和Sn=(n-1)λn+2-nλn+1+λ2(1-λ)2+2n+1-2（9分）
当λ=1时，Tn=n(n-1)2．这时数列{a_n}的前n项和Sn=n(n-1)2+2n+1-2（10分）
（3）证明：通过分析，推测数列{cn+1cn}的第一项c2c1最大，
下面证明：cn+1cn＜c2c1=λ2+42，n≥2③（11分）
由λ＞0知c_n＞0要使③式成立，只要2cn+1＜(λ2+4)cn(n≥2)，
因为(λ2+4)cn=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n＞4λ•(n-1)λn+4×2n=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2c_n+1，n≥2． 所以③式成立．
因此，存在k=1，使得cn+1cn≤ck+1ck=c2c1对任意n∈N^*均成立．（14分）

解析

b2n

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+x及两个正整数数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。