已知函数f=x2-4，设曲线y=f在点）处的切线与x轴的交点为，其中x1为正实数．用xn表示xn

题文

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）若x₁=4，记an=lgxn+2xn-2，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）若x₁=4，b_n=x_n-2，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明T_n＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x．
所以曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线方程是：y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n）．
即y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n）．
即x_n²+4=2x_nx_n+1．
显然x_n≠0，∴xn+1=xn2+2xn．
（Ⅱ）由xn+1=xn2+2xn，知xn+1+2=xn2+2xn+2=(xn+2)22xn，
同理xn+1-2=(xn-2)22xn，故xn+1+2xn+1-2=(xn+2xn-2)2．
从而lgxn+1+2xn+1-2=2lgxn+2xn-2，即a_n+1=2a_n．所以，数列{a_n}成等比数列．
故an=2n-1a1=2n-1lgx1+2x1-2=2n-1lg3．
即lgxn+2xn-2=2n-1lg3．
从而xn+2xn-2=32n-1
所以xn=2(32n-1+1)32n-1-1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知xn=2(32n-1+1)32n-1-1，
∴bn=xn-2=432n-1-1＞0
∴bn+1bn=32n-1-132n-1=132n-1+1＜132n-1≤1321-1=13
当n=1时，显然T₁=b₁=2＜3．
当n＞1时，bn＜13bn-1＜(13)2bn-2＜＜(13)n-1b1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜b1+13b1+…+(13)n-1b1=b1[1-(13)n]1-13=3-3•(13)n＜3．
综上，T_n＜3（n∈N*）．

解析

xn2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。