已知数列{an}满足：a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数求a2，a3；设bn=a2n-2，n∈N*，求证：数列{bn}

题文

已知数列{a_n}满足：a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数
（I）求a₂，a₃；
（II）设bn=a2n-2，n∈N*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}前20项中所有奇数项的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令n=1，得a₂=12a₁+1=32，令n=2，得a₃=a₂-4=-52．
（II）b₁=a₂-2=-12，且bn+1bn=a2n+2-2a2n-2=12a2n+1+(2n+1)-2a2n-2=12(a2n-2×2n)+2n-1a2n-2=12，是一个与n无关的常数．
 所以数列{b_n}是等比数列，其通项公式b_n=-(12)n
（Ⅲ）由（II）可得a_2n=2+b_n．
数列{a_n}前20项中所有奇数项的和S=a₁+a₃+a₅+…+a₁₉=a₁+12(a2-2×1)+12(a4-2×2)+…+12(a18-2×18)=1-（1+2+4+…18）+12（a₂+a₄+…a₁₈）
=-90+12（2+b₁+2+b₂+…2+b₉）=-90+12（18+-12(1-129)1-12）=-90+9-12+1210=1210-1632

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。