已知公差不为零的等差数列{an}的前10项和S10=55，且a2，a4，a8成等比数列．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=(-1)n

题文

已知公差不为零的等差数列{a_n}的前10项和S₁₀=55，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=(-1)nan+2n，求{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 由已知得：10a1+10×9d2=55(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，化简可得 2a1+9d=11d2-a1d=0．
因为  d≠0，所以，d=a₁，∴2a₁+9a₁=11，所以 a₁=1，d=1．
所以 a_n=1+（n-1）=n．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=(-1)nan+2n，∴bn=-n+2n(n为奇数)n+2n(n为偶数)，
∴（ⅰ） 当n为奇数时，Tn= (-1+2)+(2+22)+(-3+23)+…+（-n+2ⁿ）
=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）+…+（-n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=n-12-n+2(1-2n)1-2=2ⁿ⁺¹-n2-52．
（ⅱ） 当n为偶数时，Tn= (-1+2)+(2+22)+(-3+23)+…+（-n+2ⁿ）
=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）+…+（-n+1+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=2ⁿ⁺¹ +n2-2．
所以，Tn=2n+1-n2-52(n为奇数)2n+1+n2-2(n为偶数)．…（14分）

解析

10a1+10×9d2=55(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)

考点

据考高分专家说，试题“已知公差不为零的等差数列{an}的前10.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。