已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn 为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=1anan+1，Tn为数列{b

题文

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n 为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=1anan+1，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式和T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n，成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）（法一）在a_n²=S_2n-1，令n=1，n=2可得a12=S1a22=S3
即a12=a1(a1+d)2=3a1+3d
∴a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
∵b_n=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1）
∴Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=12（1-12n+1）=n2n+1
（法二）∵{a_n}是等差数列，
∴a1+a2n-12=an
∴S2n-1=a1+a2n-12×(2n-1)=（2n-1）a_n
由a_n²=S_2n-1，得a_n²=（2n-1）a_n，
又a_n≠0，
∴a_n=2n-1
∵b_n=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1）
∴Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=12（1-12n+1）=n2n+1
（Ⅱ）∵T₁=13，T_m=m2m+1，T_n=n2n+1
若T₁，T_m，T_n，成等比数列，则(m2m+1)2=13(n2n+1)
即m24m2+4m+1=n6n+3
法一：由m24m2+4m+1=n6n+3可得，3n=-2m2+4m+1m2＞0
即-2m²+4m+1＞0
∴1-62＜m＜1+62
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n，成等比数
法二：∵n6n+3=16+3n＜16
∴m4m2+4m+1＜16
∴2m²-4m-1＜0
∴1-62＜m＜1+62
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n，成等比数

解析

a12=S1a22=S3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是各项均不为0的等差数列.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。