已知数列{an} 的前n项和Sn ，且Sn=13．求a1，a2，a3；求证：数列{an} 是等比数列．

题文

已知数列{a_n} 的前n项和S_n ，且S_n=13（a_n-1）（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求证：数列{a_n} 是等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=13（a_n-1），
∴S₁=13（a₁-1），∴a₁=-12；
∵S₂=13（a₂-1），∴a₂=14；
∵S₃=13（a₃-1），∴a₃=-18；
（2）证明：∵S_n=13（a_n-1），
∴S_n-1=13（a_n-1-1），
两式相减：a_n=13（a_n-a_n-1），
∴当n≥2时，anan-1=-12，
∴数列{a_n}是等比数列．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an} 的前n项和Sn ，且S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。