已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2，n=1，2，3…．求证：数列{an-2n}为等比数列；设bn=an•cosnπ，求

题文

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n；
（Ⅲ）设cn=1an-n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜3744． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴{a_n-2n}是以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+2n．
当n为偶数时，P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^n-1+2（n-1）]+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=4(1-2n)1-22-2(1-2n)1-22+n=23•(2n-1)+n；
当n为奇数时，Pn=-2n+1+23-(n+1)．
综上，Pn=-2n+13-n-53，(n为奇数)23•(2n-1)+n，(n为偶数)；
（Ⅲ）cn=1an-n=12n+n．
当n=1时，T₁=13＜3744
当n≥2时，Tn=121+1+122+2+123+3+…+12n+n
＜13+122+123+…+12n
=13+14(1-12n-1)1-12=13+12-12n=56-12n＜56＜3744
综上可知：任意n∈N，Tn＜3744．

解析

4(1-2n)1-22

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。