在递增数列{an}中，Sn表示数列{an}的前n项和，a1=1，an+1=an+c，且a1，a2，S3成等比数列．求c的值；若

题文

在递增数列{a_n}中，S_n表示数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，S₃成等比数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若bn+an=2•(-13)n，n∈N^*，求b₂+b₄+…+b_2n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a_n+1=a_n+c，a₁=1，移向，a_n+1-a_n=c，c为常数，所以数列{a_n}为等差数列，
其通项公式为a_n=1+（n-1）c．
则a₂=1+c，S₃=1+（1+c）+（1+2c）=3+3c．…（3分）
又a₁，a₂，S₃成等比数列，所以（1+c）²=3+3c，解得c=-1或c=2．
由于{a_n}是递增数列，舍去c=-1，故c=2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n-1，n∈N^*．
所以bn=2•(-13)n-(2n-1)，b2n=2•(-13)2n-(4n-1)．…（8分）
从而 b₂+b₄+…+b_2n=29[1-(19)n]1-19-n(3+4n-1)2=14(1-19n)-2n2-n，n∈N^*．…（13分）

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“在递增数列{an}中，Sn表示数列{an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。