已知数列{an}的前n项和为Sn．且满足Sn=2an-1求证：数列{an}是等比数列；数列{bn}满足bn+1．=an+bnn∈N+．

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n．且满足S_n=2a_n-1（n∈N⁺）
（I）求证：数列{a_n}是等比数列；
（II）数列{b_n}满足b_n+1．=a_n+b_nn∈N⁺．且b₁=3．若不等式log2(bn-2)＜316n2+t对任意n∈N⁺恒成立，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（ I）证明：依题意可得S_n+1=2a_n+1-1…①，S_n=2a_n-1…②
①-②，得a_n+1=2a_n+1-2a_n
化简得an+1an=2(n∈N*)，
∵a₁=2a₁-1，
∴a₁=1
∴数列{a_n}是以1为首项，公比为2的等比数列．
（II）由（Ⅰ）可知a_n=2^n-1，因为b_n+1=a_n+b_n，n∈N⁺．且b₁=3，
所以b_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+a_n-2+b_n-2=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=2^n-2+2^n-3+…+1+3=2^n-1+2，
因为不等式log2(bn-2)＜316n2+t对任意n∈N⁺恒成立，
所以log2(2n-1+2-2)＜316n2+t，
即t＞-316n2+n-1，对任意n∈N⁺恒成立，
因为-316n2+n-1≤516，且n=3时-316n2+n-1取得最大值516．
所以t＞516．
所以实数t的取值范围：(516，+∞)．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn．且满足.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。