已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，各项的和为S，且limn→∞(Sn-2S)=1，则其首项a1的取值范围是A．∪B．（-2

题文

已知无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，各项的和为S，且limn→∞(Sn-2S)=1，则其首项a₁的取值范围是（ ）A．（-1，0）∪（0，1）B．（-2，-1）∪（-1，0）C．（0，1）∪（1，2）D．（-2，0）∪（0，2） 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵S=a11-q，S_n=S•（1-qⁿ）
∴S_n-2S=-S（1+qⁿ），
∵limn→∞(Sn-2S)=1，
∴-Slimn→∞(1+qn) =1，
∵无穷等比数列，0＜|q|＜1，limn→∞qn=0，
∴S=-1，a11-q=-1，
q=a1+1．
0＜|a₁+1|＜1，
解得-2＜a₁＜0且a₁≠-1．
首项a₁的取值范围是（-2，-1）∪（（-1，0）．
故选B．

解析

a11-q

考点

据考高分专家说，试题“已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。