已知函数f(x)(x∈R，x≠1a)满足ax•f=2bx+f，a≠0，f=1；且使f=2x成立的实数x只有一个．求函数f的表

题文

已知函数f(x)(x∈R，x≠1a)满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a1=23，a_n+1=f（a_n），bn=an1-an，n∈N^*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由ax•f（x）=2bx+f（x），x≠1a，a≠0，得f(x)=2bxax-1．…（2分）
由f（1）=1，得a=2b+1．…（3分）
由f（x）=2x只有一解，即2bxax-1=2x，也就是2ax²-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，
∴4（1+b）²-4×2a×0=0
∴b=-1．…（5分）
∴a=-1．
故f(x)=2xx+1．…（6分）
（Ⅱ）解法一：∵a1=23，a_n+1=f（a_n），
∴a2=f(a1)=f(23)=45，a3=f(a2)=f(45)=89，a4=f(a3)=f(89)=1617，…（7分）
猜想，an=2n2n+1(n∈N*)．…（8分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=23，右边=2121+1=23，∴命题成立．…（10分）
②假设n=k时，命题成立，即ak=2k2k+1；
当 n=k+1时，ak+1=f(ak)=2akak+1=2×2k2k+12k2k+1+1=2k+12k+1+1，
∴当 n=k+1时，命题成立．…（12分）
由①②可得，当n∈N^*时，有an=2n2n+1．…（13分）
∵bn=an1-an=2n，(n∈N*)，
∴bn+1bn=2，(n∈N*)a₁=2
∴{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为b_n=2ⁿ．…（14分）
解法二：∵a1=23，an+1=f(an)=2anan+1
∴1an+1=12(1an+1)…（8分）
即1an+1-1=12(1an-1)，…（10分）
∴1bn+1=12bn即bn+1=2bn(n∈N+)…（12分）
则数列{b_n}是以b₁=2为首项2为公比的等比数列，b_n=2ⁿ，（n∈N^*）…（14分）

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)(x∈R，x≠1a)满足.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。