设数列{an}的n项和为Sn，若对任意∈N*，都有．Sn=3an-5n求数列{an}的首项；求证：数列{an+5}是等比数列，并求数列{an}的通项

题文

设数列{a_n}的n项和为S_n，若对任意∈N^*，都有．S_n=3a_n-5n
（1）求数列{a_n}的首项；
（2）求证：数列{a_n+5}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{b_n}满足b_n=9n+4an+5，问是否存m在，使得b_n＜m恒成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=3a₁-5∴a₁=52          …（3分）
（2）∵S_n=3a_n-5_n∴S_n-1=3a_n-1-5（n-1）n≥2）
∴a_n=32a_n-1+52             …（5分），
∴a_n+5=32a_n-1+152=32（a_n-1+5）
∴an+5an-1+5=32（为常数） （n≥2）
∴数列{a_n+5}是以32为公比的等比数列         …（7分）
∴a_n=152•（32）^n-1-5                       …（10分）
（3）∵b_n=9n+4an+5∴b_n=9n+4152•(32)n-1∴bnbn-1=9n+4152•(32)n-19n-5152•(32)n-2=9n+432(9n-5)=18n+827n-15   …（12分）
18n+827n-15-1=18n+8-27n+1527n-15=-9n+2327n-15    …（14分）
∴当n≥3时，bnbn-1＜1；  n=2时，bnbn-1＞1
∴当n=2时，b_n有最大值b₂=264135∴（b_n）_max=264135                         …（15分）
∴m＞264135=8845                            …（16分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的n项和为Sn，若对任意∈.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。