已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=aa-1(an-1)．求{an}的通项公式；设bn=2Snan+1，若数列{

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=aa-1(an-1)（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=2Snan+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在条件（2）下，设cn=2-(11+an+11-an+1)，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：Tn＜13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S1=aa-1(a1-1)（a为常数，且a≠0，a≠1），
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=aa-1an-aa-1an-1，
化简得anan-1=a（a≠0），
又∵当n=1时，a₁=s₁=a，即{a_n}是等比数列．
∴数列的通项公式a_n=a•a^n-1=aⁿ
（2）由（1）知，bn=2•aa-1(an-1)an+1=(3a-1)an-2aan(a-1)，
因{b_n}为等比数列，则有b₂²=b₁b₃
∵b1=3，b2=3a+2a，b3=3a2+2a+2a2，
∴(3a+2a)2=3•3a2+2a+2a2，
解得a=13，再将a=13代入得b_n=3ⁿ成立，
∴a=13．
（3）证明：由（2）知an=(13)n，
∴cn=2-11+(13)n-11-(13)n+1=1-3n3n+1+1-3n+13n+1-1
=13n+1-13n+1-1，
∵13n+1＜13n，13n+1-1＞13n+1
∴13n+1-13n+1-1＜13n-13n+1，
∴cn＜13n-13n+1
∴数列的前n和T_n=c₁+c₂+…+c_n
＜(13-132) +(132-133) +…+(13n- 13n-1)
=13-13n+1＜13

解析

aa-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。