已知椭圆y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的离心率e满足3，1e，49成等比数列，且椭圆上的点到焦点的最短距离为2-3．过点作直线l交椭圆于点A，B

题文

已知椭圆y2a2+x2b2=1 (a＞b＞0)的离心率e满足3， 1e， 49成等比数列，且椭圆上的点到焦点的最短距离为2-3．过点（2，0）作直线l交椭圆于点A，B．
（1）若AB的中点C在y=4x（x≠0）上，求直线l的方程；
（2）设椭圆中心为，问是否存在直线l，使得的面积满足2S_△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）e2=c2a2=34a-c=2-3…（2分），
∴a=2c=3椭圆方程：y24+x2=1…（4分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为C（x₀，y₀），
则有：y214+x21=1y224+x22=1⇒(y1-y2)(y1+y2)4+(x1-x2)(x1+x2)=0
⇒x01+y04×k=0⇒k=-4x0y0=-1
∴直线l的方程为y=-x+2…（6分），经检验y=-x+2适合题意．…（6分）
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意可设直线l的方程为y=k（x-2）
代入椭圆方程可得：x1+x2=4k2k2+4x1•x2=4k2-4k2+4…（9分）
2S_△AOB=|OA|•|OB|⇒x₁x₂+y₁y₂=0⇒（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，…（11分），
经检验y=±12(x-2)适合题意…（12分）

解析

e2=c2a2=34a-c=2-3

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆y2a2+x2b2=1(a＞b＞.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。