已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an+n，且bn=an-1anan+1．求证：{an-1}为等比数列；求数列{bn}的前n项和．

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若Sn=2an+n，且bn=an-1anan+1．
（1）求证：{a_n-1}为等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：当n≥2时，由 a_n =S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），可得 a_n =2a_n-1-1，…（2分）
∴a_n+1-1=2（a_n-1-1）．…（4分）
又因为S₁=2a₁+1，所以a₁=-1，a₁-1=-2≠0，
∴{a_n-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列．…（7分）
（2）由（1）知，an-1=-2×2n-1=-2n，即an=-2n+1，…（9分）
∴bn=-2n(1-2n)(1-2n+1)=12n+1-1-12n-1，（11分）
故Tn=-[(12-1-122-1)+(122-1-123-1)+…+(12n-1-12n+1-1)]=12n+1-1-1．（14分）

解析

-2n(1-2n)(1-2n+1)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。