已知数列{an}，{cn}满足条件：a1=1，an+1=2an+1，cn=1(2n+1)(2n+3)．求证数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通

题文

已知数列{a_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，cn=1(2n+1)(2n+3)．
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使得Tn＞1am对任意n∈N^*都成立的正整数m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，a₁+1=2≠0…（2分）
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．…（4分）
（Ⅱ）∵cn=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，…（6分）
∴Tn=12(13-15+15-17+…+12n+1-12n+3)
=12(13-12n+3)=n3×(2n+3)=n6n+9．…（8分）
∵Tn+1Tn=n+16n+15•6n+9n=6n2+15n+96n2+15n=1+96n2+15n＞1，
又T_n＞0，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*，即数列{T_n}是递增数列．
∴当n=1时，T_n取得最小值115．…（10分）
要使得Tn＞1am对任意n∈N^*都成立，
结合（Ⅰ）的结果，只需115＞12m-1，
由此得m＞4．
∴正整数m的最小值是5．…（12分）

解析

1(2n+1)(2n+3)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，{cn}满足条件：a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。