数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，an+1=Sn+1(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，且b5=9，b7=13．t为何值，数列{an}是等比数列

题文

数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，an+1=Sn+1(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，且b₅=9，b₇=13．
（I）t为何值，数列{a_n}是等比数列？
（II）在（I）的条件下，若cn=an•bn(n∈N*)，设TN为数列{cn}的前n项和，求Tn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a_n+1=S_n+1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-1+1，
两式相减，得a_n+1-a_n=a_n，
∴a_n+1=2a_n，
要使数列{a_n}是等比数列，当且仅当a2a1=2，即t+1t=2，
∴t=1．
故t=1时，数列{a_n}是等比数列．
（II）∵数列{b_n}为等差数列，则公差d=12(b7-b5)=12(13-9)=2，
∴首项b₁=b₅-4d=9-4×2=1，
∴b_n=2n-1，
由（I）知，an=2n-1，n∈N^*，
∴c_n=a_n•b_n=2^n-1，n∈N^*
∴Tn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1，①
∴2Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+（2n-1）×2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1×2⁰+2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）×2ⁿ．

解析

a2a1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。