设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)且a1，a2+5，a3成等差数列．求a1的值；若数列{bn}满足bn

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）若数列{b_n}满足bn=an+2n，求证数列{b_n}是等比数列．
（3）求满足an＞45×3n的最小正整数n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)
∴2a₁=a₂-3①，2（a₁+a₂）=a₃-7②
∵a₁，a₂+5，a₃成等差数列
∴2（a₂+5）=a₁+a₃，③
∴由①②③可得a₁=1；
（2）证明：∵2Sn=an+1-2n+1+1，
∴2Sn-1=an-2n+1（n≥2）
两式相减可得2an=an+1-an-2n
∴an+1=3an+2n
∵数列{b_n}满足bn=an+2n，
∴bn+1bn=an+1+2n+1an+2n=3an+2n+2n+1an+2n=3（n≥2）
∵2a₁=a₂-3，
∴a₂=5
∴b₁=3，b₂=9
∴b2b1=3
∴数列{b_n}是一个以3为首项，公比为3的等比数列．…（9分）
（3）由（2）知bn=3n，即an+2n=3n
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=3ⁿ-2ⁿ．…（11分）
∴an3n=1-(23)n＞45，即(23)n＜15，
所以n≥4，所以n的最小正整数为4．…（15分）

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，满足2S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。