已知抛物线y2=4x，过点M的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列；设MA=α

题文

已知抛物线y²=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．
（1）求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列；
（2）设MA=αAC，MB=βBC，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设直线l的方程为：y=kx+2（k≠0），
联立方程可得y=kx+2y2=4x得：k²x²+（4k-4）x+4=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C(-2k，0)，
则x1+x2=-4k-4k2，x1•x2=4k2②|MA|•|MB|=1+k2|x1-0|•1+k2|x2-0|=4(1+k2)k2，
而|MC|2=(1+k2|-2k-0|)2=4(1+k2)k2，
∴|MC|²=|MA|•|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比数列（7分）
（2）由MA=αAC，MB=αBC得，(x1，y1-2)=α(-x1-2k，-y1)，(x2，y2-2)=β(-x2-2k，-y2)
即得：α=-kx1kx1+2，β=-kx2kx2+2，
则α+β=-2k2x1x2-2k(x1+x2)k2x1x2+2k(x1+x2)+4
由（1）中②代入得α+β=-1，
故α+β为定值且定值为-1（13分）

解析

y=kx+2y2=4x

考点

据考高分专家说，试题“已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。