已知数列{ an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1-2an．证明数列{bn}是等比数列；数列{cn}满足cn=1l

题文

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足cn=1log2bn+3（n∈N^*），设T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+，…+c_nc_n+1，求证，对一切n∈N^*不等式Tn＜14恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
当n≥2时，S_n=4a_n-1+1．        ②
①-②得 a_n+1=4a_n-4a_n-1．    所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1．
因为a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，所以a₂=3a₁+1=4． 所以b₁=a₂-2a₁=2．
故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，则c_n=1log2bn+3=1n+3（n∈N^*）．
T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1
=14×5+15×6+16×7+…+1(n+3)(n+4)
=14-15+15-16+…+1n+3-1n+4
=14-1n+4＜14．

解析

1log2bn+3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{ an}的前n项和为Sn，a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。