设同时满足条件：①bn+bn+22≥bn+1；②bn≤M的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足：S

题文

设同时满足条件：①bn+bn+22≥bn+1；②b_n≤M（n∈N₊，M是与n无关的常数）的无穷数列{b_n}叫“嘉文”数列．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=aa-1(an-1)（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=2Snan+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值，并证明此时{1bn}为“嘉文”数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为S1=aa-1(a1-1)，所以a₁=a
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=aa-1an-aa-1an-1anan-1=a，即{a_n}以a为首项，a为公比的等比数列．
∴an=a•an-1=an；         …（4分）
（2）由（1）知，bn=2×aa-1(an-1)an+1=(3a-1)an-2a(a-1)an，
若{b_n}为等比数列，则有b22=b1•b3，而b₁=3，b2=3a+2a，b3=3a2+2a+2a2
故(3a+2a)2=3•3a2+2a+2a2，解得a=13…（7分）
再将a=13代入得：bn=3n，其为等比数列，所以a=13成立…（8分）
由于①1bn+1bn+22=13n+13n+22＞213n•13n+22=13n+1=1bn+1…（10分）
（或做差更简单：因为1bn+1bn+22-1bn+1=53n+2-13n+1=23n+2＞0，所以1bn+1bn+22≥1bn+1也成立）
②1bn=13n≤13，故存在M≥13；
所以符合①②，故{1bn}为“嘉文”数列…（12分）

解析

aa-1

考点

据考高分专家说，试题“设同时满足条件：①bn+bn+22≥bn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。