已知：等比数列{an}的首项为a1，公比为q．写出数列{an}的前n项和Sn的公式；给出中的公式的证明．

题文

已知：等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．
（1）写出数列{a_n}的前n项和S_n的公式；
（2）给出（1）中的公式的证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）Sn=na1，q=1a1(1-qn)1-q，q≠1；
（2）由等比数列及其前n项和的定义知：Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1①
当q=1时，S_n=na₁；
当q≠1时，把①式两边同乘q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn②
由①-②，得(1-q)Sn=a1-a1qn=a1(1-qn)，∴Sn=a1(1-qn)1-q．
综上：当q=1时，S_n=na₁；当q≠1时，Sn=a1(1-qn)1-q．

解析

na1，q=1a1(1-qn)1-q，q≠1

考点

据考高分专家说，试题“已知：等比数列{an}的首项为a1，公比.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。