已知数列{an}满足条件：a1=t，an+1=2an+1．判断数列{an+1}是否为等比数列；若t=1，令cn=2nan•an+1，记Tn=c1+c

题文

已知数列{a_n}满足条件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1．
（I）判断数列{a_n+1}是否为等比数列；
（Ⅱ）若t=1，令cn=2n an•an+1，记Tn=c1+c2+c3+…+cn．
证明：
（i）cn=1an-1an+1；
（ii）T_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（I）由题意可得，a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1）
∵a₁+1=t+1
∴当t=-1时，数列{a_n+1}不是等比数列
当t≠-1时，数列{a_n+1}是以t+1为首项，以2为公比的等比数列；
（II）当t=1时，由（I）知an+1=2•2n-1
∴an=2n-1
∴Cn=2nanan+1=2n(2n-1)(2n+′1-1)=12n-1-12n+1-1=1an-1an+1
∴Tn=1-13+13-17+…+(12n-1-12n+1-1)
=1-12n+1-1＜1

解析

2nanan+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足条件：a1=t，an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。