在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，Sn表示其前n项和．记Sn=A，S2n-Sn=B，S3n-S2n=C，证明A，B，C成等比数列；若a1

题文

在等比数列{a_n}中，首项为a₁，公比为q，S_n表示其前n项和．
（I）记S_n=A，S_2n-S_n=B，S_3n-S_2n=C，证明A，B，C成等比数列；
（II）若a1=a∈[12010，11949]，S6S3=9，记数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，当n取何值时，T_n有最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（ I）当q=1时，A=na₁，B=2na₁-na₁=na₁，
C=3na₁-2na₁=na₁，可见A，B，C成等比数列；（2分）
当q≠1时，A=a1(1-qn)1-q，B=an+1(1-qn)1-q，
C=a2n+1(1-qn)1-q．故有BA=an+1a1=qn
，CB=a2n+1an+1=an+1qnan+1=qn．
可得BA=CB，这说明A，B，C成等比数列．
综上，A，B，C成等比数列；（6分）
（II）若q=1，则S6S3=6a13a1=2≠9，
与题设矛盾，此情况不存在；
若q≠1，则S6S3=a1(1-q6)a1(1-q3)=1+q3，
故有1+q³=9，解得q=2． （8分）
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．
所以数列{log₂a_n}是以log₂a为首项，1为公差的等差数列．
令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0⇔n≤1-log₂a．
因为a∈[12010，11949]，
所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，（10分）
即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，
可知满足log₂a_n≤0的最大的n值为11．
所以，数列{log₂a_n}的前11项均为负值，
从第12项开始都是正数．因此，当n=11时，T_n有最小值． （12分）

解析

a1(1-qn)1-q

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，首项为a1，公比为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。