已知等比数列{an}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．求数列{an}的通项公式；设a≠1，n≥2，记bn=ana2n+an-2，Tn=b2

题文

已知等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设a≠1，n≥2，记bn=ana2n+an-2，Tn=b2+b3+…+bn．
（i）证明：bn=-13[1(-2)n-1-1-1(-2)n-1]；
（ii）若Tn＞760，求n的所有可能取值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a，
∴a+a²+a³=3a，a≠0，
∴a²+a-2=0，解得a=1，或a=-2，
故a_n=1，或an=(-2)n．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，bn=ana2n+an-2=(-2)n(-2)2n+(-2)n-2，
∵-13[1(-2)n-1-1-1(-2)n-1]
=-13•[(-2)n-1]-[(-2)n-1-1][(-2)n-1-1][(-2)n-1]
=-13•(-2)n-(-2)n-1(-2)2n-1-(-2)n-(-2)n-1+1
=-13•-3(-2)n-1(-2)2n-1+(-2)n-1+1
=(-2)n-1•(-2)[(-2)2n-1+(-2)n-1+1]•(-2)
=(-2)n(-2)2n+(-2)n-2．
∴bn=-13[1(-2)n-1-1-1(-2)n-1]．
（ii）由（i）知：
Tn=-13(1-3-1(-2)n-1)＞160，
即1(-2)n-1＞160，
若n为奇数，则1(-2)n-1＜0，舍去
若n为偶数，则12n-1＞160，
即2ⁿ-1＜60，2ⁿ＜61＜64=2⁶，得n＜6，
故n=2或n=4．

解析

ana2n+an-2

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的首项、公比、前三项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。