已知函数f=kx+b，f=10，又f，f，f成等比数列．求函数f的解析式；设an=2f+2n，求

题文

已知函数f（x）=kx+b（k≠0），f（4）=10，又f（1），f（2），f（6）成等比数列．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设a_n=2^f（n）+2n，求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意，知：f²（2）=f（1）•f（6），
即（2k+b）²=（k+b）（6k+b）…（2分）
即  2k²=-3kb…（3分）
∵k≠0，∴2k+3b=0…（4分）
又f（4）=10，所以  4k+b=10
所以，k=3，b=-2…（6分）
∴函数f（x）的解析式为f（x）=3x-2…（7分）
（II）由（1）知：a_n=2^3n-2+2n．
所以，数列{a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+2⁴+2⁷+…+2^3n-2）+2（1+2+…+n）
=2(1-8n)1-8+2•(1+n)n2=27(8n-1)+n(n+1)…（14分）

解析

2(1-8n)1-8

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=kx+b（k≠0），f.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。