已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-n求数列{an}的通项公式；设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（2n+1）（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=2a_n-n
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1
当n≥2时，S_n=2a_n-n   ①
S_n-1=2a_n-1-n+1        ②
①-②得a_n=2a_n-1+1即a_n+1=2（a_n-1+1）
∵a₁+1=2≠0∴a_n-1+1≠0
∴an+1an-1+1=2
∴{a_n+1}是以首项为2，公比为2的等比数列
a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1
（2）b_n=（2n+1）•2ⁿ
T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．

解析

an+1an-1+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。