已知数列{an}的首项a1=23，an+1=2anan+1，n=1，2，3，…．证明：数列{1an-1}是等比数列；求数列{nan}的前n项和Sn．

题文

已知数列{a_n}的首项a1=23，an+1=2anan+1，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列{1an-1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知：an+1=2anan+1，
∴1an+1=an+12an=12+12•1an，（2分）
∴1an+1-1=12(1an-1)，
又a1=23，∴1a1-1=12，（4分）
∴数列{1an-1}是以12为首项，12为公比的等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1an-1=12•(12)n-1=12n，
即1an=12n+1，∴nan=n2n+n．（8分）
设Tn=12+222+323++n2n，①
则12Tn=122+223++n-12n+n2n+1，②
由①-②得：12Tn=12+122++12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1，（10分）
∴Tn=2-12n-1-n2n．又1+2+3++n=n(n+1)2．（12分）
∴数列{nan}的前n项和：Sn=2-2+n2n+n(n+1)2=n2+n+42-2+n2n．（14分）

解析

2anan+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=23，an+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。