已知数列{an}满足a1=12，an=an-11+an-1．求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；令bn=1an且c

题文

已知数列{a_n}满足a₁=12，a_n=an-11+an-1（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=1an且c_n=lgb_n，判断数列{c_n}是否为等比数列？并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=12，∴a2=a11+a1=13，同理得出a3=13，a4=14，育网  
猜想an=1n+1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），b_n=n+1，c_n=lg（n+1），{c_n}不是等比数列．
方法一：由于c_nc_n+2=lg（n+1）lg（n+3）＜[lg(n+1)+lg(n+3)2]2=[lg(n+1)(n+3)2]2＜[lg(n+2)22]2=c _n+1 ²，故{c_n}不是等比数列．
方法二：由c_n=lg（n+1），c₁=lg2，c₂=lg3，c₃=lg4，
∵c₁c₃=lg2•lg4＜(lg2+lg42)2=＜(lg82)2＜(lg92)2=（lg3）²=c₃²，
c₁c₃≠c₃²，∴{c_n}不是等比数列．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=12，an=a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。