已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3=32，S6=2116，bn=λan-n2．求数列{an}的通项公式an；若数列{bn}是单调递减数列，

题文

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S₃=32，S₆=2116，b_n=λa_n-n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S₃=32，S₆=2116，
∴q≠1，
∴a1(1-q3)1-q=32，a1(1-q6)1-q=2116，
得：1+q³=78，
∴q=-12，a₁=2．
∴a_n=2×(-12)n-1．
（Ⅱ）∵b_n=λa_n-n²，
∴b_n=2λ(-12)n-1-n²，
由题意可知对任意n∈N^*，数列{b_n}单调递减，
∴b_n+1＜b_n，
即2λ(-12)n-（n+1）²＜=2λ(-12)n-1-n²，
即6λ(-12)n＜2n+1对任意n∈N^*恒成立，
当n是奇数时，λ＞-(2n+1)2n6，当n=1时，-(2n+1)2n6取得最大值-1，故λ＞-1；
当n是偶数时，λ＜(2n+1)2n6，当n=2时，(2n+1)2n6取得最小值103，故λ＜103．
综上可知，-1＜λ＜103，即实数λ的取值范围是（-1，103）．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。