已知yn=2logaxn，已知y4=17，y7=11．求证：数列{yn}是等差数列；数列{yn}的通项公式；数列{

题文

已知y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11．
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）数列{y_n}的通项公式；
（3）数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值为多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵y_n+1-y_n=2log_a（12）ⁿ⁺¹-2log_a（12）ⁿ=2log_a（12）常数（n≥1）．
∴数列{y_n}为等差数列．
（2）设数列{y_n}的公差为d，由y₄=17，y₇=11．
得y1+3d=17y1+6d=11.
解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=25-2n．
即数列{yn}的通项为y_n=25-2n（n≥1）．
（3）令yn≥0yn+1≤0.
得25-2n≥023-2n≤0.
∵n∈N^*．
∴n=12．
∴{y_n}的前12项之和最大，最大值为S₁₂=144．
（3）由（2）知，当n＞12时，y_n＜0成立．
∵y_n=2log_ax_n，
∴x_n=a^ya2．
当a＞1，且n＞12时，有x_n=a^ya2＜a⁰=1．
这与题意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有x_n=a^ya2≥a^-12＞2．
故所求a的取值范围为0＜a＜14．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知yn=2logaxn（a＞0且a≠1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。