已知负数a1和正数b1，且对任意的正整数n，当an+bn2≥0时，有[an+1，bn+1]=[an，an+bn2]；当an+bn2＜0时，有[an+1，bn+1

题文

已知负数a₁和正数b₁，且对任意的正整数n，当an+bn2≥0时，有[a_n+1，b_n+1]=[a_n，an+bn2]；当an+bn2＜0时，有[a_n+1，b_n+1]=[an+bn2，b_n]．
（1）求证数列{b_n-a_n}是等比数列；
（2）若a₁=-1，b₁=2，求证a_2n=-2b_2n（n∈N^*）；
（3）是否存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列？请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当an+bn2≥0时，b_n+1-a_n+1=an+bn2-a_n=bn-an2；
当an+bn2＜0，b_n+1-a_n+1=b_n-an+bn2=bn-an2．
所以，总有b_n+1-a_n+1=12（b_n-a_n），
又b₁＞0，a₁＜0，可得b₁-a₁＞0，
所以数列{b_n-a_n}是等比数列．（4分）
（2）①由a₁=-1，b₁=2，可得a1+b12=12＞0，
故有[a2，b2]=[a1，a1+b12]，
∴b2=a1+b12=12，a₂=a₁=-1，从而a₂=-2b₂，
故当n=1时，a_2n=-2b_2n成立．（6分）
②假设当n=k时，a_2n=-2b_2n成立，即a_2k=-2b_2k，
由b_2k-a_2k=3b_2k＞0，可得b_2k＞0，a2k+b2k2=-2b2k+b2k2=-b2k2＜0，
故有[a2k+1，b2k+1]=[a2k+b2k2，b2k]，
∴a2k+1=a2k+b2k2=-b2k2，b2k+1=b2k，（9分）
a2k+1+b2k+12=-b2k2+b2k2=b2k4＞0，
故有[a2k+2，b2k+2]=[a2k+1，a2k+1+b2k+12]
∴b2k+2=a2k+1+b2k+12=b2k4，a2k+2=a2k+1=-b2k2，
故a_2（k+1）=-2b_2（k+1）
∴当n=k+1时，a_2n=-2b_2n成立．
综合①②可得对一切正整数n，都有a_2n=-2b_2n．（12分）
（3）假设存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列，
由（1）可得b_n-a_n=（b₁-a₁）（12）^n-1，又a_n=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（12）^n-1，（14分）
由a_n+1=a_n恒成立，可知an+bn2≥0，即a₁+（b₁-a₁）（12）ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤a1-b1a1对任意的正整数n恒成立，（16分）
又a1-b1a1是正数，
故n≤log2a1-b1a1对任意的正整数n恒成立，
因为log2a1-b1a1是常数，
故n≤log2a1-b1a1不可能对任意正整数n恒成立．
故不存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列．（18分）

解析

an+bn2

考点

据考高分专家说，试题“已知负数a1和正数b1，且对任意的正整数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。