设数列{an} 对任意n∈N*和实数常数，有an-2an+1anan+1=t-2，t∈R，a1=13若{1-anan}是等比数列，求{an} 的通项公式；

题文

设数列{a_n} 对任意n∈N^*和实数常数，有an-2an+1anan+1=t-2，t∈R，a₁=13
（1）若{1-anan}是等比数列，求{a_n} 的通项公式；
（2）设{b_n}满足b_n=（1-a_n）a_n，其前n项和T_n，求证：Tn＞23•2n-12n+1+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由an-2an+1anan+1=t-2，t∈R，a₁=13，
得1an+1-1=2(1an-1) +t•1a1-1=2，
∵{1-anan}是等比数列，
∴1an-1=2n，
得an=12n+1．
（2）由b_n=（1-a_n）a_n得bn=(1-12n+1) •12n+1=2n(2n+1)2＜12n+1-12n+1+1，
前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n
＜13-12n+1+1
=23•2n-12n+1+1．

解析

an-2an+1anan+1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an} 对任意n∈N*和实数常数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。