已知各项都是正数的等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)使得aman=4a1，且a7=a6+2a5，则1m+4n的最小值是A．32B．4

题文

已知各项都是正数的等比数列{a_n}中，存在两项 am， an(m， n∈N*)使得aman=4a1，且a₇=a₆+2a₅，则1m+4n的最小值是（ ）A．32B．43C．23D．34 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，
则有a₁q⁶=a₁q⁵+2a₁q⁴．
即：q²-q-2=0，解得：q=2，q=-1，又因为时正项等比数列故q=2．
∵存在两项 am， an(m， n∈N*)使得aman=4a1，即a₁×2m-12n-1=4a₁，∴m+n=6
则1m+4n=16（m+n）（1m+4n）=16[5+nm+4mn]≥16（5+2nm×4mn）=32   （当且仅当4mn=nm时取等号）
∴1m+4n的最小值是32
故选 A

解析

aman

考点

据考高分专家说，试题“已知各项都是正数的等比数列{an}中，存.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。