设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-3．证明：数列{an}是等比数列；若数列{bn}满足bn=an+2n（n=1，2，

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n+2n（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：因为S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．，则S_n-1=2a_n-1-3（n=2，3，…）．…（1分）
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，…（3分）
整理得a_n=2a_n-1．            …（4分）
由S_n=2a_n-3，令n=1，得S₁=2a₁-3，解得a₁=3．…（5分）
所以{a_n}是首项为3，公比为2的等比数列．    …（6分）
（Ⅱ）因为an=3•2n-1，…（7分）
由b_n=a_n+2n（n=1，2，…），得bn=3•2n-1+2n．
所以Tn=3(1+21+22+…+2n-1)+2(1+2+3+…+n)…（9分）
=31(1-2n)1-2+2•n(n+1)2…（11分）
=3•2ⁿ+n²+n-3
所以Tn=3•2n+n2+n-3．   …（12分）

解析

1(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。