设数列{an}的前n项和为Sn，点在直线x+y-2=0上，n∈N*．证明数列{an}为等比数列，并求出其通项；设f=log12a

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线x+y-2=0上，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出其通项；
（2）设f（n）=log12aⁿ，记b_n=a_n+1•f（n+1），求数列{b_n}的前n和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵（a_n，S_n）在直线x+y-2=0上，
∴a_n+S_n=2，
可得n=1时，a₁+S₁=2即2a₁=2解得a₁=1…（2分）
当n≥2时，a_n+S_n=2且a_n-1+S_n-1=2…（3分）
两式相减得：a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0，即2a_n-a_n-1=0…（5分）
∴a_n=12a_n-1，可得数列{a_n}是以1为首项，公比q=12的等比数列．…（6分）
可得a_n=（12）^n-1…（7分）
（2）由（1）得f（n）=log12aⁿ=log12（12）^n-1=n-1，
则b_n=a_n+1•f（n+1）=n•（12）ⁿ，…（9分）
∴T_n=1×12+2×122+3×123+…+n•（12）ⁿ，----①
两边都乘以12得12T_n=1×122+2×123+3×124+…+n•（12）ⁿ⁺¹，----②…（10分）
①-②得：12T_n=12+122+123+…+（12）ⁿ-n•（12）ⁿ⁺¹=（1-12n）-n•（12）ⁿ⁺¹…（11分）
即T_n=（2-2×12n）-n•（12）ⁿ，化简得T_n=2-（n+2）12n．…（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，点（an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。