已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a1=2，若数列{1+an}也是等比数列，则Sn等于A．2nB．3nC．2n+1-2D．3n-1

题文

已知S_n为等比数列{a_n}的前n项和，a₁=2，若数列{1+a_n}也是等比数列，则S_n等于（ ）A．2nB．3nC．2ⁿ⁺¹-2D．3ⁿ-1 题型：未知 难度：其他题型

答案

{an}为等比数列，则a₁a₃=a₂²
数列{an+1}也是等比数列，
则（a₁+1）（a₃+1）=（a₂+1）²
得：a₁+a₃=2a₂
∴（a₁+a₃）²=4（a₂）²=4（a₁a₃）
∴（a₁-a₃）²=0
∴a₁=a₃
即 {an}是常数列，a_n=a₁=2
{a_n+1}也是常数列，每一项都是3
故 S_n=2n
故答案选A

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。