已知函数f=log2x，设f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N*)是首项和公差都等于1的等差数列．数列{bn}满足bn=an+

题文

已知函数f（x）=log₂x，设f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N*)是首项和公差都等于1的等差数列．数列{b_n}满足bn=an+3n(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{b_n}不是等比数列；
（2）令cn=2n-1an，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求证：S_n＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得 f（a_n）=n=log₂a_n，∴an=2n，故数列{a_n}是等比数列．
假设数列{b_n}是等比数列，bn=2n+3n，则有 b22=b1b3．
由因为 b22=132，b1b3=5×35，∴b22≠b1b3，与假设矛盾，所以假设不成立．
∴数列{b_n}不是等比数列．（6分）
（2）∵cn=2n-1an，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴Sn=12+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n，…①
∴12Sn=122+323+524+…+2n-32n+2n-12n+1，…②，
①-②得 12Sn=12+222+223+224+…+22n-2n-12n+1 
=12+(121+122+123+…+22n-1)-2n-12n+1
=12+12[1-(12)n-1]1-12-2n-12n+1=12+1-(12)n-1-2n-12n+1=32-2n+32n+1，
∴Sn=3-2n+32n＜3．（12分）

解析

2n-1an

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log2x，设f(a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。