已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn．证明数列{ann}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；数列{bn

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（I）证明数列{ann}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}满足b1=12，b2=14，对任意n∈N^*，都有b2n+1=bn•bn+2．若对任意的n∈N^*，不等式2ⁿ⁺¹b_ns_n＜3×2ⁿ⁺¹b_n+λn（n+2）恒成立，试求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），两式相减得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，即an+1n+1=ann（n≥2），由a₁=1，可得a₂=2，
从而对任意 n∈N^*，an+1n+1=ann，又a11=1≠0，即{ann}是首项公比均为1的数列，
所以ann=1×1^n-1=1，故数列{a_n}的通项公式a_n=n（n∈N^*）．（4分）
（II）在数列{b_n}中，由b2n+1=bn•bn+2，知数列{b_n}是等比数列，且首项、公比均为12，
∴数列{b_n}的通项公式bn=12n（6分）
故原不等式可化为（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0对任意的n∈N^*，恒成立，
变形可得λ＞n2+n-6n2+2n对任意的n∈N^*，恒成立，
令f（n）=n2+n-6n2+2n=n2+2n-n-6n2+2n=1-n+6n2+2n=1-1n2+2nn+6=1-1(n+6)+24n+6-10，
由n+6≥7，(n+6)+24n+6-10单调递增且大于0，
∴f（n）单调递增，且当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1
故实数λ的取值范围是[1，+∞）

解析

an+1n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。