设无穷数列{an}系：a1=1，2an+1-an=n-2n(n+1)(n+2)求a2，a3若bn=an-1n(n+1)，求证数列{bn}是

题文

设无穷数列{aⁿ}系：a₁=1，2a_n+1-a_n=n-2n(n+1)(n+2)（n≥1）
（1）求a₂，a₃
（2）若b_n=a_n-1n(n+1)，求证数列{b_n}是等比数列
（3）若S_n为数列{a_n}前n项的和，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₁=1，2a_n+1-a_n=n-2n(n+1)(n+2)（n≥1），
∴2a2-a1=-11×2×3，解得a2=512．
同理可得a3=524．
（2）由b_n=a_n-1n(n+1)，代入递推式中可得：2(bn+1+1(n+1)(n+2))-(bn+1n(n+1))=n-2n(n+1)(n+2)，
∴2bn+1-bn+2nn(n+1)(n+2)-n+2n(n+1)(n+2)=n-2n(n+1)(n+2)，
∴2b_n+1=b_n，且b1=a1-12=12．
∴数列{b_n}是首项为12，公比为12的等比数列．
（3）由（2）可知：bn=(12)n，
∴an=(12)n+1n(n+1)=(12)n+(1n-1n+1)
∴数列{a_n}前n项和S_n=12×[1-(12)n]1-12+1-1n+1
=2-(12)n-1n+1．

解析

n-2n(n+1)(n+2)

考点

据考高分专家说，试题“设无穷数列{an}系：a1=1，2an+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。