设数列{xn}满足xn≠1且，前n项和为Sn．已知点p1，P2，…Pn都在直线y=kx+b上（其中常数b，

题文

设数列{x_n}满足x_n≠1且（n∈N^*），前n项和为S_n．已知点p₁（x₁，S₁），P₂（x₂，s₂），…P_n（x_n，s_n）都在直线y=kx+b上（其中常数b，k且k≠1，b≠0），又y_n=log12 xn．
（1）求证：数列{x_n]是等比数列；
（2）若y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t、s∈N^*，s≠t使得点（t，y_t）和点（s，y_t）都在直线y=2x+1上．问是否存在正整数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵点P_n（x_n，S_n），P_n+1（x_n+1，S_n+1）都在直线y=kx+b上，
∴S_n=kx_n+b，S_n+1=kx_n+1+b
两式相减得S_n+1-S_n=kx_n+1-kx_n，即x_n+1=kx_n+1-kx_n，
∵常数k≠0，且k≠1，∴xn+1xn=kk-1（非零常数）
∴数列{x_n]是等比数列；
（2）由y_n=log_0.5x_n，得x_n=（12）^y_n=8^n-6，
∴kk-1=8，得k=87．
又P_n在直线上，得S_n=kx_n+b，
令n=1得b=S₁-87x₁=-17x₁=-8-57；
（3）∵y_n=log_0.5x_n，∴当n＞M时，x_n＞1恒成立等价于y_n＜0恒成立．
∵存在t，s∈N^*，使得（t，y_s）和（s，y_t）都在y=2x+1上，
∴y_s=2t+1 ①，y_t=2s+1 ②．
①-②得：y_s-y_t=2（t-s），
∵s≠t，∴{y_n}是公差d=-2＜0的等差数列
①+②得：y_s+y_t=2（t+s）+2，
又y_s+y_t=y₁+（s-1）•（-2）+y₁+（t-1）•（-2）=2y₁-2（s+t）+4
由2y₁-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y₁=2（t+s）-1＞0，
即：数列{y_n}是首项为正，公差为负的等差数列，
所以一定存在一个最小自然数M，使yM≥0yM+1＜0，即2(s+t)-1+(M-1)•(-2)≥02(s+t)-1+M•(-2)＜0
 解得t+s-12＜M≤t+s+12．
∵M∈N^*，∴M=t+s．
即存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．

解析

xn+1xn

考点

据考高分专家说，试题“设数列{xn}满足xn≠1且（n∈N*）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。