数列{an}和数列{bn}由下列条件确定：a1＜0，b1＞0；当k≥2时，ak与bk满足如下条件：当ak-1+bk-12≥0时，ak=a

题文

数列{a_n}和数列{b_n}（n∈N^*）由下列条件确定：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）当k≥2时，a_k与b_k满足如下条件：当ak-1+bk-12≥0时，a_k=a_k-1，b_k=ak-1+bk-12；当ak-1+bk-12＜0时，a_k=ak-1+bk-12，b_k=b_k-1．
解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列{a_k-b_k}是等比数列；
（Ⅱ）记数列{n（b_k-a_n）}的前n项和为S_n，若已知当a＞1时，limn→∞nan=0，求limn→∞Sn．
（Ⅲ）m（n≥2）是满足b₁＞b₂＞…＞b_n的最大整数时，用a₁，b₁表示n满足的条件． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当ak-1+bk-12≥0时，b_k-a_k=ak-1+bk-12-a_k-1=12（b_k-1a_k-1），
当ak-1+bk-12＜0时，b_k-a_k=b_k-1-ak-1+bk-12=12（b_k-1a_k-1），
所以不论哪种情况，都有b_k-a_k=12（b_k-1a_k-1），又显然b₁-a₁＞0，故数列{a_k-b_k}是等比数列（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n-a_n=（b₁-a₁）=(12)n-1，故n（b_n-a_n）=（b₁-a₁）•n2n-1，
S_n=（b₁-a₁）（1+22+322+…+n2n-2+n2n-1），所以12S_n=（b₁-a₁）（1+222+323…+n2n-1+n2n），
所以12S_n=（b₁-a₁）（1+12+123+…+12n-1+n2n），S_n=（b₁-a₁）[4（1-12n）-2n2n]（7分）
又当a＞1时limn→∞nan=0，limn→∞S_n=4（b₁-a₁）．（8分）
（Ⅲ）当b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）时，b_k≠b_k-1（2≤k≤n），由（2）知ak-1+bk-12＜0不成立，
故ak-1+bk-12≥0，从而对于2≤k≤n，有a_k=a_k-1，b_k=ak-1+bk-12，于是a_n=a_n-1=…=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）(12)n -1（10分）
an+bn2=12{a₁+[a₁+（b₁-a₁）(12)n+1]}若an+bn2≥0，则b_n+1=an+bn2，
b_n+1-b_n={a₁+（b₁-a₁）(12)n}-{a₁+（b₁-a₁）(12)n-1}=-（b₁-a₁）(12)n＜0，
所以b_n+1＜b_n=，这与n是满足b₁＞b₂＞…＞b_n（n≥2）的最大整数矛盾．
因此n是满足an+bn2＜0的最小整数．（12分）
而an+bn2＜0⇔b1-a1-a1＜2ⁿ⇔log₂a1-b1a1＜n，
因而n是满足log₂a1-b1a1＜n的最小整数．（14分）

解析

ak-1+bk-12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}和数列{bn}（n∈N*）由.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。