已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a．求{an}的通项公式；设bn=an2+Sn•an，若数

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）设c_n=log_aa_2n-1，求数列{a_2n•c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵S_n=a（S_n-a_n+1）
∴S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）（n≥2）
两式相减可得，S_n-S_n-1=a（S_n-a_n+1-S_n-1+a_n-1-1）（n≥2）
即a_n=a[（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1]=a•a_n-1
∴anan-1=a（n≥2）
∵S₁=a（s₁-a₁+1）
∴a₁=a
∴数列{a_n}是以a为首项以a为公比的等比数列
∴a_n=aⁿ
（II）∵S_n=a（S_n-aⁿ+1）
∴S_n=a×1-an1-a
∴b_n=a_n²+S_n•a_n=an(an+a(1-an)1-a）
∵b_n为等比数列∴b₂²=b₁b₃
∴a4[a2+a(1-a2)1-a] 2=2a²•a³[a3+a(1-a3)1-a]
∵a≠0，a≠1
解可得a=12
（III）∵C_n=log_aa_2n-1=2n-1，a_2n•C_n=（2n-1）•a²ⁿ
∴T_n=a²+3a⁴+…+（2n-1）a²ⁿ
a²T_n=a⁴+3a⁶+…+（2n-3）a²ⁿ+（2n-1）•a²ⁿ⁺²
两式相减可得，（1-a²）T_n=a²+2（a⁴+a⁶+…+a²ⁿ）-（2n-1）•a²ⁿ⁺²
=a2+2a4(1-a2n-2)1-a2-(2n-1)•a2n+2
∴T_n=a2(1+a2)-(2n+1)•a2n+2+(2n+1)•a2n+4(1-a2) 2

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。