数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n，．试求λ、μ的值，使得数列{an+λn2+μn}为等比数列；设数列{bn}满足：

题文

数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）试求λ、μ的值，使得数列{a_n+λn²+μn}为等比数列；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：bn=1an+n-2n-1，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：n≥2时，6n(n+1)(2n+1)＜Sn＜53． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）若{a_n+λn²+μn}为等比数列，
则存在q≠0，使a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=q（a_n+λn²+μn）对∀n∈N^*成立．
由已知：a_n+1=2a_n-n²+3n，代入上式，
整理得（q-2）a_n+（λq-λ+1）n²+（μq-2λ-μ-3）n-λ-μ=0①
∵①式对∀n∈N^*成立，
∴q-2=0λq-λ+1=0μq-2λ-μ-3=0-λ-μ=0
解得q=2λ=-1μ=1
∴当λ=-1，μ=1时，数列{a_n+λn²+μn}是公比为2的等比数列；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：a_n-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1，即a_n=2^n-1+n²-n
所以bn=1an+n-2n-1=1n2
∵bn=1n2＜1n2-14=1n-12-1n+12
n≥2时，s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+(132-152)+(152-172)+…+(1n-12-1n+12)=1+23-1n+12＜53（1）
现证：Sn＞6n(n+1)(2n+1)（n≥2）
n≥2时，16n（n+1）（2n+1）s_n=（1²+2²+3²+…+n²）（112+122+132+…+1n2）＞（1+1+1+…+1）²（n个1）=n²
∴Sn＞6n(n+1)(2n+1)（2）
根据（1）（2）可知53＞Sn＞6n(n+1)(2n+1)对于n≥2，n∈N^*都成立．

解析

q-2=0λq-λ+1=0μq-2λ-μ-3=0-λ-μ=0

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，an+1=2a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。