已知数列{an}中，a1=56且对任意非零自然数n都有an+1=13an+n+1．数列{bn}对任意非零自然数n都有bn=an+1-12an．求证

题文

已知数列{a_n}中，a₁=56且对任意非零自然数n都有a_n+1=13a_n+（12）ⁿ⁺¹．数列{b_n}对任意非零自然数n都有b_n=a_n+1-12a_n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：b_n=a_n+1-12a_n=[13a_n+（12）ⁿ⁺¹]-12a_n=（12）ⁿ⁺¹-16a_n，b_n+1=（12）ⁿ⁺²-16a_n+1=（12）ⁿ⁺²-16[13a_n+（12）ⁿ⁺¹]=12•（12）ⁿ⁺¹-118a_n-16•（12）ⁿ⁺¹=13•（12）ⁿ⁺¹-118a_n=13•[（12）ⁿ⁺¹-16a_n]，
∴bn+1bn=13（n=1，2，3，…）．
∴{b_n}是公比为13的等比数列．
（2）∵b₁=（12）²-16a₁=14-16•56=19，
∴b_n=19•（13）^n-1=（13）ⁿ⁺¹．
由b_n=（12）ⁿ⁺¹-16a_n，得（13）ⁿ⁺¹=（12）ⁿ⁺¹-16a_n，解得a_n=6[（12）ⁿ⁺¹-（13）ⁿ⁺¹]．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=56且对任意非.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。