定义τ=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-1-an|为有限项数列{an}的波动强度．当an=n时，求τ（a1，a

题文

定义τ（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-1-a_n|为有限项数列{a_n}的波动强度．
（Ⅰ）当a_n=（-1）ⁿ时，求τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）；
（Ⅱ）若数列a，b，c，d满足（a-b）（b-c）（c-d）＞0，求证：τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d）；
（Ⅲ）设{a_n}各项均不相等，且交换数列{a_n}中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{a_n}一定是递增数列或递减数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由定义知，a₁=-1，a₂=1，a₃=-1，a₄=1，…，a₉₉=-1，a₁₀₀=1，从而有τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）=2×99=198；
（Ⅱ）要证τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d），即证：|a-b|+|b-c|+|c-d|≤|a-c|+|c-b|+|b-d|，即证：|a-b|+|c-d|≤|a-c|+|b-d|，由条件（a-b）（b-c）（c-d）＞0可得；
（Ⅲ）不失一般性，假设数列{a_n}中相邻两项为a_m-1，a_m则：|a_m-2-a_m-1|+|a_m-a_m+1|＜|a_m-2-a_m|+|a_m-1-a_m+1|，由（Ⅱ）可知：（a_m-2-a_m-1）（a_m-1-a_m）（a_m-a_m+1）＞0，从而有数列{a_n}一定是递增数列或递减数列．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“定义τ（a1，a2，…，an）=|a1-.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。